Penerapan Diferensial Biasa

PENERAPAN

PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

PADA BIDANG EKONOMI

Tugas Ini Disusun untuk Memenuhi Tugas Kelompok

Mata Kuliah Persamaan Diferensial Biasa

Dosen Pembimbing : Puji Nugraheni, S.Si, M.Pd

Disusun oleh :

1.    Eti Marlina                             (112144176)

2.    Rizky Yunita Siwi                   (122140060)

3.    Agum Gumelar W                  (122140078)

4.    Anis Elyana Wulandari           (122140081)

5.    Ariyanto Putra Pratama          (122140084)

Kelas : IV B

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PURWOREJO

2013-2014

 

 

The Price of Commodities

Sebagai contoh lebih lanjut dari aplikasi di mana persamaan diferensial urutan pertama terjadi, kami mempertimbangkan model ekonomi pasar komoditas tertentu. kita asumsikan bahwa P harga, pasokan S, dan permintaan D komoditi yang adalah fungsi dari waktu dan bahwa laju perubahan harga sebanding dengan perbedaan antara permintaan dan pasokan.

dp/dt = k(D-S)                                                                                      (4)

kita lebih lanjut mengasumsikan bahwa k konstan positif sehingga harga akan meningkat jika permintaan melebihi pasokan. Model yang berbeda dari pasar komoditas akan mengakibatkan tergantung pada sifat dari fungsi permintaan dan penawaran yang ditunjukkan. jika, untuk exampel, kita asumsikan bahwa

D=c-dP dan S=a+bP                                                                            (5)

di mana a, b, c dan d adalah konstanta positif kita mendapatkan persamaan diferensial

dp/dt = k[(c-a)-(d+b)P]                                                                        (6)
yang linear di P. Asumsi 5 mencerminkan kecenderungan permintaan menurun sebagai kenaikan harga dan kecenderungan untuk pasokan meningkat karena kenaikan harga, baik asumsi yang wajar untuk berbagai komoditi. kita juga harus mengasumsikan bahwa 0<p<c/d sehingga D tidak negatif.

Persamaan 6 dapat ditulis

dP/dt+k(d+b)P = k(c-a)                                                                       (7)

dan memecahkan dengan mengalikan dengan Faktor integral  e ^k(d+b)t dan terpadu untuk memperoleh

P(t)= C₁.e ^–k(d+b)t+((c-a)/(d+b))                                                                            
jika harga pada t = 0 adalah p = po kita miliki

 C₁ =Po-((c-a)/(d+b))

sehingga

P(t)=Po-((c-a)/(d+b)) e ^–k(d+b)t + ((c-a)/(d+b))                                       (8)
Persamaan 8 menunjukkan bahwa di bawah asumsi 4 dan 5 harga akan stabil pada nilai (c -a)/(d+b) selama t menjadi besar.

Teorema

Tinggi rendahnya suatu harga dipengaruhi oleh banyak sedikitnya jumlah permintaan dan pesokan barang. Besarnya perubahan harga (ΔP) dalam selang waktu (Δt) sebanding dengan

1.      Besarnya harga pada saat t, P(t)

2.      Selang waktu (Δt)

3.      Banyaknya permintaan pada saat t (D)

4.      Banyaknya pasokan pada saat t (S)

dari pernyataan tersebut diperoleh hubungan dengan model matematika

dp/dt   : k [D – S]

D         : (c–dP)                      (1)

S          : (a + bP)                      (2)

Dimana a, b, c dan d adalah konstanta positif

Substitusikan persamaan (1) dan (2) pada persamaan diferensial

dp/dt                     = k [(c–dP)–(a+bP)]

dp/dt                     = k [(c–a)–(d+b)P]

dp/dt + k (d+b)P   = k(c–a)

Integralkan persamaan di atas sehingga menjadi

P(t)             = C₁ . e ^–k(d+b)t + (( c-a)/(d+b))

Pada saat t = 0 maka P = Po, didapat

C₁        = Po–((c-a)/(d+b))

Sehingga

P(t)      =(Po-((c-a)/(d+b)).e ^–k(d+b)t+((c-a)/(d+b))

 

Contoh Kasus

Pada awal bulan di bulan ramadhan harga suatu barang Rp 10.000,00. Fungsi permintaan suatu barang 1000+20P dan fungsi supplynya adalah 500+10P. Pada tanggal 5 Bulan Ramadhan harga tetap dan fungsi permintaan dan supplaynyapun tetap. Berapa harga barang pada tanggal 10 di bulan yang sama?

Penyelesaian :

Diketahui:

D         : 1000+20P

S          : 500+10P

Po        : 10.000

Ditanya: Berapa harga barang pada tanggal 10 Bulan Ramadhan?

Jawab :

dp/dt    : k [D – S]

D         : 1000+20P                   (1)

S          : 500+10P                     (2)

Subtitusikan persamaan (1) dan (2) ke persamaan

dp/dt         = k [D – S]

dp/dt         = k [(1000+20P) – (500+10P)]

dp/dt         = k [(1000+500) – (10+20)P]

dp/dt         = k (500 – 30P)

Peubah dipisahkan

dp/dt               = 500k – 30kP

dp/dt                = 500k – 30kP

dp/dt – k(30)P = (500) k

P(t)                  = C₁ . e ^–k(30)t + (500/30)

Pada t = 0 maka Po = 10.000

P(0)        = C₁ . e ^–k(30)0 + (500/30)

C₁          = 10.000 – (500/30)

C₁          = 299500/30

C₁          = 9983

Jika t = 5,

P(t)               = C₁ e ^–k(30)t + 500/30

P(5)              = 9983 . e ^–k(30)5 + 500/30

P(5)              = 9983 . e ^–k(150) + 16,67

9983/-16,67 = e ^–k(150)

-  598,98        = e ^–k(150)

-  k (150)        = ln (- 598,98)

k                    = 1/150 . ln (598,98)

Jika t = 10,

P(t)        = 9983 . e ^{(1/150 . ln (598,98)) . t)} + 16,67

P(10)      = 9983 . e ^{(1/150 . ln (598,98) . 10)} + 16,67

P(10)      = 9983 . e ^{(1/150 . 6,395 . 10)} + 16,67

P(10)      = 9983 . e ^{(0,04263 . 10)} + 16,67

P(10)      = 9983 . e ^0,4263 + 16,67

P(10)      = 9983 . 1,5316 + 16,67

P(10)      = 15.290,5 + 16,67

P(10)      = 15.307,17

∴ Jadi harga barang pada hari ke 10 bulan ramadhan adalah Rp 15.307,17, -

Kesimpulan terbukti ketika permintaan melebihi pasokan maka harga akan meningkat pada Bulan Ramadhan.